matematica

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Introducción

Debido a su abstracción, las matemáticas son universales en un sentido en que no lo son otros campos del pensamiento humano. Tienen aplicaciones útiles en los negocios, la industria, la historia, la política, los deportes, la medicina la ingeniería las ciencias naturales y sociales. En la vida cotidiana se presentan situaciones problemáticas que necesitan de una optima solución, se puede decir que mediante la realización de cálculos matemáticos se pueden encontrar una serie de opciones que faciliten el desenlace eficaz del mismo.

El tema principal de este blog son las funciones numéricas; una función es una relación entre conjuntos pero debe cumplir ciertas condiciones para llamarse así:

Una función F es una relación que cumple con dos condiciones:

Ø Todos los elementos del conjunto de partida están relacionados.

Ø Cada elemento del conjunto de partida solo tiene relación con un elemento del conjunto de llegada.

Tarea

"Guía Didáctica"


1. Completa las siguientes proposiciones, según sea el caso.

a) Es el conjunto de elementos a los que la función asigna valores___________________.
b) Las _______________________ es una regla que asigna elementos de un conjunto a elementos de otro conjunto.
c) Una función _____________________ es cuando el recorrido cubre todo el conjunto de llegada.

2. Dada las siguientes funciones F(x)= 3x ² + 2x -3 y G(x)= x² + 6x -2 hallar:
- Suma
- Resta
- Multiplicación

3. Trazar la grafica de la siguiente función raíz cuadrada de 9-x²

Pasos Para la Resolución de la Tarea

La guía Didáctica consta de 3 partes: "Completación, Identificación de Funciones, y Resolución de Ejercicios"

- Se debe leer detalladamente cada una de las preguntas que alli se encuentran.
- La actividad deberá ser resuelta en un máximo de 2 días a partir de la fecha indicada 9/11/2011.
- La actividad tiene una ponderación de 20% referente a la unidad II, y se debe enviar a el correo del facilitador gineska_14@hotmail.com para revisar los ejercicios propuestos.

Funciones Numéricas

funciones
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Funciones Cuadráticas

Estas son todas las funciones que tienen la forma siguiente:

\begin{displaymath} f(x) = ax^2+bx+c \end{displaymath}

donde $a,b$ y $c$ son números reales, y $a\neq 0$ .

Por ejemplo, las siguientes son todas funciones cuadráticas:

\begin{displaymath} \begin{array}{ccll} f(x) & = & 3x^2-x+2 & (a=3,\; b=-1,\; ... ... \\ [.3cm] j(x) & = & x^2 & (a=1,\; b=0,\; c=0) \end{array} \end{displaymath}

Un ejemplo de un fenómeno que se puede describir a través de una función cuadrática, es el siguiente: se lanza una pelota, desde el suelo, hacia arriba. Se quiere conocer la altura alcanzada por la pelota en cada segundo contado a partir del momento en que fue lanzada.

La función que permite obtener la altura de la pelota en cada segundo, es una función cuadrática que depende de la inclinación con la cual se lanzó y de la fuerza que se le imprimió al lanzamiento, de acuerdo a ciertas leyes de la Física.

Si se obtiene, en un caso específico, la función

\begin{displaymath} f(x)=-2x^2+8x \end{displaymath}

entonces, en el instante inicial (0 segundos transcurridos) la pelota está en el suelo, es decir, tiene altura igual a cero:
\begin{displaymath} f(0)=-2(0)^2+8(0)=0 \end{displaymath}


Para saber cuál es la altura (en metros, por ejemplo, en este caso) de la pelota en el instante en que ha transcurrido 1 segundo, se hace $x=1$ y se calcula

\begin{displaymath} f(1)=-2(1)^2+8(1)=-2+8=6 \end{displaymath}

y cuando han transcurrido 2 segundos:
\begin{displaymath} f(2)=-2(2)^2+8(2)=-8+16=8 \end{displaymath}

Puede hacerse una tabla como la que se muestra a la derecha.

$x$
$f(x)$
0
0
1
6
2
8
3
6
4
0


De la gráfica de la interactividad anterior pueden inferirse varias cosas acerca del fenómeno en cuestión, entre ellas:

1) La pelota vuelve a caer al suelo a los 4 segundos de haber sido lanzada.

2) La altura máxima la alcanza al haber transcurrido 2 segundos a partir de su lanzamiento.

3) La velocidad de la pelota va disminuyendo desde que es lanzada hasta que llega a 8 metros de altura (a los 2 segundos de su lanzamiento). Esto se puede ver al calcular la cantidad de metros que subió desde el segundo 0 hasta el segundo 1, que es $f(1)-f(0)=6-0=6$ metros, y compararla con la cantidad de metros que subió entre los segundos 1 y 2:

\begin{displaymath} f(2)-f(1)=8-6=2\;\mbox{metros} \end{displaymath}

Luego ocurre algo curioso, entre los segundos 2 y 3, la pelota comienza a descender y recorre exactamente 2 metros:
\begin{displaymath} f(2)-f(3)=8-6=2\;\mbox{metros} \end{displaymath}

Y entre los segundos 3 y 4 vuelve a recorrer la distancia que recorrió en el primer segundo:

\begin{displaymath} f(3)-f(4)=6-0=6\;\mbox{metros.} \end{displaymath}

esto se refleja gráficamente en la simetría de la curva con respecto a la recta vertical $x=2$ .


Decir que esta curva es simétrica respecto a la recta $x=2$ , significa que si se rotara el plano tomando la recta como eje, de manera que todo lo que está a la izquierda de la recta pase a la derecha y viceversa, se obtendría una curva idéntica a la original.

En otras palabras, si un observador imaginario, diminuto, se situara en algún punto de la recta, lo que vería de la curva al mirar hacia la izquierda, sería idéntico a lo que vería a su derecha.

En términos algebraicos, se tiene que la imagen, por medio de la función $f(x)=-2x^2+8x$ , de dos números que estén a la derecha y a la izquierda de 2 y a la misma distancia de 2, debe ser la misma.

Por ejemplo, los números $\frac{1}{2}$ y $\frac{7}{2}$ son equidistantes de 2, pues

\begin{displaymath} 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \qquad\mbox{y}\qquad \frac{7}{2}-2=\frac{3}{2} \end{displaymath}
Y sus imágenes son iguales:
\begin{eqnarray*} f\left(\frac{1}{2}\right) & = & -2\left(\frac{1}{2}\right)^2 ... ...frac{7}{2}\right)^2 + 8\left( \frac{7}{2}\right) = \frac{7}{2} \end{eqnarray*}

Ejercicio: comprueba algebraicamente la simetría respecto a la recta $x=2$ , de la curva representada, tomando varias parejas de números equidistantes del 2 y calculando sus imágenes.

La curva obtenida es una parte de una curva llamada parábola; todas las funciones cuadráticas tienen como representación gráfica en el plano cartesiano, una parábola.

Ejemplos de funciones cuadráticas

1.-$f(x)=(x-1)(2x+3)=2x^2+3x-2x-3=2x^2+x-3$




2.-$f(x)=3+x^2$



3.-$f(x)=1-2x-x^2$

4.-$f(x)=x^2-6x+10$

En una parábola se distinguen algunos elementos importantes:

El vértice.

Es el punto de ordenada mínima si la parábola abre hacia arriba, y es el de ordenada máxima si abre hacia abajo.

En los ejemplos anteriores, los vértices son

1) $\;\left(\displaystyle \frac{-1}{4},\displaystyle \frac{-25}{8}\right)$ 2) $\; (0,3)$ 3) $\; (-1,2)$ 4) $\; (3,1)$

en general, si una función cuadrática tiene la expresión

\begin{displaymath}f(x)=ax^2+bx+c\;,\end{displaymath}

las coordenadas del vértice de la parábola correspondiente son:

\begin{displaymath} \left(\frac{-b}{2a},c-\frac{b^2}{4a}\right) \end{displaymath}

Ejercicio:

Comprueba que los vértices de las cuatro parábolas dadas corresponden a los puntos dados, haciendo el cálculo de las coordenadas

\begin{displaymath}\left( \displaystyle \frac{-b}{2a},c-\displaystyle \frac{b^2}{4a} \right)\end{displaymath}
en cada caso.

Los puntos de corte con los ejes.

Con el eje de las ordenadas hay un solo punto de corte. No puede haber más de uno cuando la parábola representa a una función cuadrática, puesto que el punto de corte con el eje de las ordenadas es el punto cuyas coordenadas son $(0,f(0))$ . Entre las propiedades de una función está la que asegura la unicidad de la imagen de cada elemento.

Por ejemplo, en la función (1), $f(x)=2x^2+x-3$ , el punto de corte con el eje de las ordenadas es $(0,f(0))$ , donde

\begin{displaymath} f(0)=2(0)^2+0-3=-3 \end{displaymath}

es decir, es el punto $(0,-3)$ .

Este punto está muy cerca del vértice, pero no coincide con él.

En la función (2), $f(x)=3+x^2$ , el punto de corte con el eje de las ordenadas sí coincide con el vértice, pues

\begin{displaymath} f(0)=3 \end{displaymath}
y por lo tanto el punto es $(0,3)$

Para encontrar los puntos de corte con el eje de las abscisas, hay que observar lo siguiente: puede haber un sólo punto de corte, dos puntos de corte, o ninguno.

Para reflexionar: observando las gráficas de las funciones cuadráticas propuestas como los ejemplos 1, 2, 3 y 4, intenta explicar por qué es posible que alguna de esas tres situaciones ocurra, y por qué no podría haber más de dos cortes con el eje de las abscisas.

Si se busca el punto de corte con el eje de las abscisas de una parábola que representa a la función

\begin{displaymath}f(x)=ax^2+bx+c\;,\end{displaymath}
en realidad se quiere saber cuál es el (o los) números $x$ que satisfacen $f(x)=0$ , pues todo punto de la parábola tiene coordenadas $(x,f(x))$ , y si uno de estos puntos está sobre el eje de las abscisas, será de la forma $(x,0)$ .

Pero decir que $f(x)=0$ es lo mismo que decir:

\begin{displaymath} ax^2+bx+c=0 \end{displaymath}
Las soluciones de esta ecuación cuadrática pueden ser 2 distintas, 1 solución doble, o ninguna real. .


Los ejemplos 1 y 3 anteriores muestran parábolas con dos puntos de corte con el eje de las abscisas.

Los ejemplos 2 y 4 son parábolas sin cortes con el eje de las abscisas.

En el caso de la función 1, se obtiene la ecuación cuadrática

\begin{displaymath} 2x^2+x-3=0 \end{displaymath}
Esta se puede resolver aplicando la fórmula general:
\begin{eqnarray*} x & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ [.5cm] x & = & \... ...{-3}{2} \\ [.5cm] x_2 & = & \frac{-1+5}{4} = \frac{4}{4} = 1 \end{eqnarray*}


También se podría, para resolver la ecuación, utilizar la expresión factorizada del trinomio

\begin{displaymath} 2x^2+x-3=(x-1)(2x+3) \end{displaymath}

Si se desean determinar las soluciones de
\begin{displaymath} (x-1)(2x+3)=0 \end{displaymath}

basta con observar que, para que un producto sea igual a 0, uno de los factores (al menos) debe ser igual a 0. Así, se obtienen las dos ecuaciones

\begin{displaymath} x-1=0\;,\quad \mbox{luego $\; x=1$} \end{displaymath}
y
\begin{displaymath} 2x+3=0\;,\quad \mbox{luego $\; x=\displaystyle \frac{-3}{2}$} \end{displaymath}

Las parábolas de los ejemplos 2 y 4 no tienen puntos de corte con el eje de las abscisas, porque el discriminante $b^2-4ac$ es negativo en ambos casos:

2 $f(x)=3+x^2$
$b^2-4ac=0^2-4(1)(3)=-12$

4 $f(x)=x^2-6x+10$
$b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(10)= 36-40=-4$


Eso nos indica que las ecuaciones

\begin{displaymath} 3+x^2=0 \qquad\mbox{y}\qquad x^2-6x+10=0 \end{displaymath}
no tienen soluciones reales.

Criterios a Evaluar

Criterios

porcentaje

Puntualidad

4%

Procedimiento

12%

Lógica

4%

Total 20%

Conclusión

El tema de funciones es principal como otros temas dentro del estudio de la matemática, puesto que es fundamental para el conocimiento básico de los estudiantes, con el estudio de la matemática le permitirá desarrollar habilidades númericas convirtiendose en una fortaleza para luego desempeñarse con eficiencia en la trayectoria estudiantil de todo ser humano tanto profesional como social.

Autores

Para indagar acerca del tema de Funciones se recomienda la bibliografía:

- Suarez BrachoEstrella y Durán Cepeda Darío. Matematica 8vo Grado. Editorial Santillana. Caracas, 2003
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